《同人轉載》新世紀數學少女

又是來自 Kirk Chan 的同人創作。《新世紀數學少女》調寄《新世紀福音戰士》主題曲《殘酷天使的行動綱領》。徵求好心人試唱，成為下一輯網誌的主題曲。

《新世紀數學少女》 詞：Kirk Chan

(國語)
困難又複雜的許多問題
數學少女啊快去解開謎底

(粵語)

方程 似天邊浮雲
等號的雙方有太多可能
無論三元二次
或是一個數字
兩邊數值永遠相等

扉頁 猜想中停留
讓後世學者無止境探求
過程縱有跌宕
也不放棄希望
相信一天可得出答案

X的 N次再加上Y的N次
會否與ZN相等
三百年後終於也証明到
只可有平凡的根

數學家總是在建構新的定理
為使應付各種時候再變化
計算當中若見反例被留下
我想知道那裏是有錯嗎
驗算讓我知道answer真與假
在妳的雙眼裏我望見了火花

(SIN THETA 若OVER TANGENT THETA
約了SIN 就等於COSINE)

鉛筆 在白紙留痕
坐標中每個點也都可能
看著直線落下
將這空間分隔
以耐性找出最佳解答

哲人 在世間留痕
在歷史長河裏幾番追尋
伴我踏上征旅
送上多方指引
追蹤往日步履足印

再挫敗再困倦此刻也未停步
計算用心也用神
再看著身邊努力的少女臉孔
讓我心充滿信心

數學中存在各種各樣的知識
在世間充滿著無數的變化
用耐心與冷靜逐步去追尋
但我想知道你會伴我解答嗎
判別式讓我知道解的真與假
在妳的雙眼裏我望見了火花

再挫敗再困倦此刻也未停步
計算用心也用神
再看著身邊努力的少女臉孔
讓我心充滿信心

數學中存在各種各樣的知識
在世間充滿著無數的變化
用耐心與冷靜逐步去追尋
但我想知道你會伴我解答嗎
判別式讓我知道解的真與假
在妳的雙眼裏我望見了火花

原曲：
http://www.youtube.com/watch?v=uV1pNQiQhL8&feature=related

《同人轉載》數學少女的傳說

以下是來自Kirk Chan 的同人傳說：

曾經在數學科有這樣的一個傳說:
若你有一條怎樣計都計不懂的數學問題, 可以在凌晨十二時上一個網站尋找「數學少女」的協助。若你能成功登入, 數學少女就會給你一條繫上數線的稻草人玩偶給你, 只要你一扯斷數線, 數學少女就會幫你解答那條數學問題......代價就是你以後的數學科都不會合格。

書籍介紹【數學少女4—隨機算法】

電腦程式編寫，常人不難掌握。從零開始解決問題，每人均可寫出自己的算法。剩下的是效率問題。改善效率，靠的是甚麼？有云是掌握一切，確保秩序。但此法改善的是確率，還要以效率為代價。隨機算法，顧名思義，是隨機選擇部分問題，隨機選擇解決方法。犧牲秩序，換來效率，和尋常智慧，有組織地做事相反。【數學少女4—隨機算法】，科學演算遇上隨機過程。明明是要確實解決的問題，來個隨機處理，常識告訴我們這是胡搞，但那只是一般見識。數學少女和主角一起，帶著各式各樣的數學武器，開始第四度歷險，闖進數學新世界，極速見識偶然中的必然。

『公就我贏，字就你輸』明顯是詐賭。正牌賭局會是各人輪流獲勝，勝負隨機決定。正因可勝可負，才會有『多少可能』獲勝的疑問。量度『可能』，用的是概率。【數學少女4—隨機算法】第一章，絕對不敗的賭局。愛心爆棚的尋常母親、愛美愛推理的表妹、和熱愛數學的主角，以日常生活的遊戲為起點，帶着名為概率的武器，開始第四度探索數學新世界。

常人以為電腦萬能，那是出於對電腦的無知。事實上，電腦只是有很多記憶體的計算機，只懂計算二進數的四則運算。所有電腦應用，背後均有運籌帷握的程式設計師，逐步指示電腦按預設算法，憨直行事。【數學少女4—隨機算法】第二章，累積憨直的一步。學妹蒂蒂初學程式編寫，尚算運籌帷握，只是不懂評鑑算法好壞。算法好壞，在於運算量多寡。新登場，擅長電算的學妹莉莎，與主角和上集的數學少女一起，探索算法評鑑的數學新世界。

用古典概率量度可能，先要點算事物個數。萬千事物同時發生，點算排列與組合，無可避免。事物互相影響，舖陳事物，樹形圖不可或缺。【數學少女4—隨機算法】第三章，171億7986萬9184的孤獨。為全球人口編配號數，只需短短34個二進編碼。差之一碼，代表的人已相距萬里。34層樹形圖，只要異於一個分义，人生便大大改寫。愛美愛推理的表妹，遇上單慕對象轉學。熱愛數學的主角，煩惱升學的去向。孤獨之源，乃走錯一步，幸福永遠斷送。

量度可能，靠點算事物個數，只能處理離散情況。連續情況，諸如飛鏢命中目標，『個數』乃面積，只能量度，不能點算，靠點算的古典概率處理不了。因此概率需要重新定義。【數學少女4—隨機算法】第四章，偶然中的必然。擲骰擲得六，尋根究底，其可能性和骰子形狀有關，乃連續的概率。那六面同等可能發生，這假設所謂何事？連蒂蒂都留意到這個問題。古典概率視之為金科玉律，以事件數目的比例量度可能。統計概率視之為待証議題，要透過實驗來驗証。只是能否現實歸現實，數理歸數理，讓模擬現實和數學推論分家？公理概率，短短三句公理，便能概括概率理論。集合偶然事物，論理必然產生，此乃偶然中的必然。

面對賭局，勝負概率當然是一大考慮，但勝負背後的得失也值得重視。有否方法可以同時評鑑兩者？集合未發生的可能事態，以數值衡量得失，再按概率取平均，是一可行方法。【數學少女4—隨機算法】第五章，預期值。隨機處理一件事，實際上和賭局一樣，成本效益，均為隨機變量。累積效益，幸福的階梯漸漸成形。只是所謂千得萬得，一日未到手，我們只能預期。

胡搞也好，善了也罷，評鑑成事效率，對象往往是手續數目。手續數目，毋須精算，只需約算。和問題大小比較，不需言及比例，皆因電腦科技不斷進步，再大的比例也能用更快的電腦演算；但須指明層階，隨問題變大而令運算數目指數爆發的算法，即使未來科技如何進步，電腦也吃不消。【數學少女4—隨機算法】第六章，但願捕捉得到的未來。許下約定，自會自己執行必要程序，於未來指定一刻達成約定的事情。希望成為數學家的美留香，自己定期向莉莎的母親雙倉博士請教，治學有善，自己舖排成為數學家的道路。

建立方程，乃將問題由現實世界轉譯到算式的世界。現實生活萬千變數，一個現實問題會轉譯成一組很多變數的方程。方程組可以以矩陣乘法表示，是以解聯立方程可以以解矩陣方程解決。【數學少女4—隨機算法】第七章，矩陣。萬千現實問題，倘若能以矩陣模擬，便能在自己的記憶中尋找以往解方程的經驗，在算式的世界將問題解決。在孤獨中和過去的自己對話，就和查找書籍，透過書本和作者對話一樣，是解決問題的利器。

在强大的外力影響下，所有物質都要歸邊，它們的去向逃不過算式的預測。外力變得微不足道後，即使是死物也會隨機運動，沒有確定公式可準確預測其去向，只有概率模型統計其分佈。【數學少女4—隨機算法】第八章，孤獨一人的隨機運動。沒有外力去脅逼個人怎樣去升學擇業，將來怎樣做是個人的主觀意願。向自己約定將來的方向也好，隨機而行也罷，成敗得失也取決於際遇。只是，『破壞約定的是壞人，不敢約定的是弱者。』蒂蒂約定眾人，代替出國的美留香於國際論壇公眾部分演講，為自己的學習做上約定。她決非弱者。

『眾裡尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火欄柵處。』擇偶條件，只要有34個，便能確保最少有一種組合，世間沒有人全數符合。容許每個條件都可以以三選一達成，一組條件是否沒有矛盾，可由某些算法判斷。只是我們需要多少時間才能判斷一人是否符合許有條件，需要多少時間才能判斷怎樣才能達成所有條件，兩者是否同階，也是困擾人類的問題。【數學少女4—隨機算法】第九章，堅強、正直而美麗。美留香出國交流，順路參觀婚體。夫妻兩人在上帝面前立下誓約。所謂的約定，就是表明自己意願，定必實行。成家有其約定，前途也有其約定。確定志願，向自己立下約定，為此努力，是主角約定自己將要做的事。元約定實現之日，就是彩虹再現之時。

有組織地做事，就能有組織地管理，這是天使之道，天上有，地下無。能有組織地管理成事，就能有組織地反制敗事，乃過度組織之弊。若能隨機行事，累積小成，直至完工，就能化解不懷好意的情況。以無為治有為，仍能保持效率，就是隨機算法的威力。【數學少女4—隨機算法】最終章，隨機算法。排序萬物，算量最少要 n log n 級。輸入未知，評鑑算量，只能假設輸入循均勻分佈，以預期算量作評價。只是不懷好意的輸入仍會加重算量至 n^2 級。隨機算法，不用假設輸入分佈，仍能控制算量至同級，更能防範反制於無為。此乃隨機算法魅力所在。

書籍介紹【數學少女3—哥德爾不完備定理】

世上太多紛爭，期望能用數學解決一切問題，那是萊布尼兹的夢。可是數學本身能否證明自己能解決一切問題？答案不單是否定，而且她能更進一步證明自己不能解決所有問題。【數學少女3—哥德爾不完備定理】，在箴言集【來自大海的恩惠】的點題下，三名數學少女和主角一同見識理性的極限。

任何一個相容的數學形式化理論中，只要它強到足以蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。 ~ 哥德爾第一不完備定理

任何相容的形式體系不能用於證明它本身的相容性。 ~ 哥德爾第二不完備定理

『數學是甚麼？』有云數學就是精確推理，將真實準確無誤地，如鏡像一般呈現眼前。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第一章，鏡之獨白。『魔鏡啊魔鏡，來告訴我，世上最美的人是誰？』辨別美醜，也許得靠【白雪公主】裡的『美人判定機』。辨別真偽，不能不靠推理。愛美愛推理的表妹，帶著新買的推理遊戲書，以推理為武器，和主角一起第三度走進數學世界，用數學探求數學的真相。

場內有帽五頂，三紅兩白。甲乙丙各戴一頂，餘下兩頂被藏起來。每人只能看見其餘兩人所戴的帽。甲先說：『我不知道自己戴的帽是甚麼顏色。』乙丙聽罷，乙接著說：『我也不知道。』這時，看見甲乙兩人均戴紅帽的丙，可會知道自己的帽是何色？

沒有規律的無限想觸摸也觸摸不了。人生有限，如要捕捉無限，只能捕捉其有限的規律。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第二章，皮亞諾算術。自然數雖然自然，但是仍有無限多個。定義自然數，靠的仍是有限的規律，那就是短短五條皮亞諾公理。即使假裝不知道自然數的存在，像向【阿拉丁神燈】許下要多三個願望的願望般，自然數應運而生。以有限的論理捕捉無限，正是數學的一大基礎。

‎1是自然數；
若n是自然數，它的後續數也是自然數；
1不是任何數的後續數；
若兩數的後續數相等，該兩數也相等。
首兩條公理不說自明。第三條公理確保了自然數的起點，不會往負方無限延伸。第四條公理確保自然數往正方無限延伸，不會到某點自己循環。那我們還欠甚麼？為何非加第五條公理不可？  ~ Shinn Lau 

第5條公理就是要確保每自然數都相差1?  ~ Smafield Lo 

確實，後續數和原數只相差1是一條很重要的公理。只是加法和減法要自然數被妥為確立後才可定義。故這正是第一條加法公理，而非第五條自然數公理。首四條公理無法排除『所有正實數』的結構。試想像0.5, 1, 1.5, 2, 2.5...，這種平行結構也符合首四條公理。我們需要第五條公理『數學歸納法』來排除平行結構，確保自然數只包含應包的數，亦讓用有限的論理捕捉無限多的自然數變得可行。  ~ Shinn Lau

笨豬跳一躍而下之前，任誰都有或長或短的遲疑和停滯。一旦跳下，便會看見另一番風景。數學發展都一樣。既有概念處理不了現實情況，擴充概念未必會真的朝解決問題方向進發，甚至會在歧路上背道而馳。此乃『飛躍前的停滯』。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第三章，伽利略的躊躇。集合是數學以有限掌握無限的另一大基礎。論理的真偽二分和集合的從屬二分互為表裡。論理論盡世間萬物，集合將之分門別類，輔以數字為其編碼。數學以此掌握無限。只是如何為包含無限元素的集合點算個數，也是困擾人類三個世紀的問題。伽利略的金科玉律『部分比全部還少』直至十九世紀才被打破，人類才能定義無限集合。概念擴張時的困惑，可見一斑。

自然數的加法方程偶爾無解，為此人類在一番折騰後創立『否定的數』(negative)。整數的自乘方程經常無解，為此某人丟掉性命後很久才創立『不合理的數』(irrational)。實數的高次方程不斷無解，為此經過一番無視確實存在的自然現象才創立『想像中的數』(imaginary)。無限集合部分元素能和全部元素一一對應，在棄掉『部分比全部還少』的金科玉律後，人類才能開始面對無限。這正是數學家的『信心一躍』(leap of faith)。

『並非依賴感覺，以論理尋真相；並非依賴話語，用演算求事實。』小學中學都會有數學老師教的0.9999...<1，孰真孰假，以論理、用演算，即可判斷。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第四章，無止境地接近的目標地點。這個命題的判定好像是要在以下兩者中按信念二擇其一：A. 序列 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... 中，每項均比前項更接近1這個目標地點，永無休止。B. 可是在同一序列中，每項均小於1。同意後者的，可會認為該循環小數會小於1。只是兩命題根本沒有矛盾。待決中的 0.999… 根本就不在序列中。故它是否等於1是和 B. 無關。無窮小數的數值，以及數值的十進位無窮小數的表現，大概需要更嚴謹的數學定義。極限就是處理無限的入門。把無窮小數化成級數再求極限，是計算的根本。

『用算式去表現數學，是最佳的表達方法。就像音樂般，用音韻去表達……千山萬水到了最後，用音韻——以及話語，能表達這個世界，那是件美好的事。畢竟，只能用音韻表達的世界還是存在的……偶爾也會遇上『不了解音樂』的人，也有能說流利話語，卻以一句『我不了解』來打發一切的人。他們只視音樂為話語的調味料。可是，不能表達或接收話語的人也應該能了解音樂。在話語的時候，音韻自然而生。在接收話語的時候，音韻也會一同接收。尋求話語意義，再用音韻表現出來，那就是演奏家的演奏。音韻響奏的同時，也會感染整個空間。故不用在意話語，細耳享受便夠了。』 

『聽不懂音韻，就像明明在學習數學，卻讀不懂算式一樣。』

『不認真去讀算式的話，就看不見數學家所構築的世界。不認真去讀算式，便不能把算式轉化為自然語言，便學不好數學吧。』

『音樂和數學雖然很不相同，但也有相似的地方。演奏家演奏音韻，也細心聆聽音韻；數學家書寫算式，也認真閱讀算式。』 

『音韻乃音樂的語言，算式乃數學的語言，無可替代。』 

『大概不止算式。以極限為例，我們表達其數值時是說『永無止境地接近』的數值，而非單單言及它『會變成』的數值。當閱讀數學書籍時仔細留意其表達是非常重要的。』

『無論面對任何問題，縱使問題有多困難和複雜，任誰都應可以透過計算，從真理判斷出解決方案。如是者，以後人人都可以避免爭論，一起去發掘世間所有真理。』那是萊布尼兹的夢。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第五章，萊布尼兹的夢。為實現夢想，先賢們創立形式體系，一一定義論理式、公理、推論規則、証明及定理等概念，以數學方法處理數學本身。萬千理論，按格式轉化，再予編碼。以公理為起點，根據體系機制，一一判斷理論真偽。『真理判定機』，業已完成。只是此機是否沒有矛盾，是否完備，就是下一個課題，也是達成夢想的關鍵。

『不用考慮現實意義，只需機械地解決問題。萊布尼兹如此冀求……『無視現實意義下解決問題』，乃操作算式時所持的心態，和『完全無視現實』有所不同。升讀中學，算術科變成數學科的時候，老師不是要求『列出算式』嗎？』 

『的確有被這樣要求。明明心算便答到的簡單題目，老師也會很囉嗦地要我列式。測驗時不列式更會被減分。』 

『就是這樣。了解問題後列出算式，剩下的只是機械運算——不用再考慮現實意義，只需持續運算——我們就是這樣練習數學。再具體的問題，即使細心理解問題意義是非常重要，到了某個階段，我們必須把思考對象從『意義的世界』轉移到『算式的世界』。那就是列式。在『算式的世界』，我們的確不用考慮現實意義，只需不斷變換算式。採用的只是各適其式的方程解法。最後將得出的結果從『算式的世界』回歸到『意義的世界』，問題就此解決……以求蘋果價格為例，我們先假設『價格為x』，建立方程。此後便進入『算式的世界』。由方程解得如 x=120 般的答案。按『x為價格』將答案回歸到『意義的世界』，便得出120圓的答案。由此可見，所謂『算式的世界』，就像一面鏡，映照出現實世界。映照現實世界，進而操作算式，就能解決世上萬千問題。』

直觀的無限，難免要靠想像。要靠想像，難免人言人殊。要客觀定義極限，便不能言及無限。既要避諱無限，又要掌握無限，只能靠集合，以條件內包一切。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第六章，Epsilon-delta。定義極限，靠的是論理，靠的是集合，靠的是由 Epsilon-delta 構成的條件。『世間所有學習數學的人們，一個不留，從魏爾斯特拉斯那兒承繼了名為 Epsilon-delta 的鑰匙。然後……用這把鑰匙，打開極限之門，從無限的迷宮逃脫。』

『在那兒（實力測驗數學排名榜），收錄了我們高中數學最優秀同學們的名字。名單不常變動，全都是數學排名榜的常客。』
『好像沒有前輩的名字……』
『蒂蒂的英文是全級最好的。若數學也考得好的話，她便能兩科上榜了。只是……我並不為她的好成績感到高興。上不了榜，自己尷尬不已。還虧自己以前輩自居，說『如有不明白的地方，歡迎找我談談。』唉，那樣的自己，真的遜斃了。』

『的確……測驗完結時，我感覺到自己的發揮和平常不一樣，尤其是在積分的計算。卷裡有很多單純應用公式的題目。其他同學也能輕易回答。只是我卻沒有想到這點。此刻心情沉重如斯，亦嘆自己悲哀如斯。』

『回到課室，收拾書包——自己一個。』
『離開大堂，殘步中庭——在長凳抱頭沉思。』
『到底我現在怎麼樣了？』
『因實力測驗上不了榜而大受打擊？』
『因數學不如蒂蒂而大受打擊？』
『受到雙重打擊，感到無比震撼？』
『這些事縈繞在腦海中，滴㗳滴㗳，揮之不去……』
『……滴㗳滴㗳，那是背後傳來的腳步聲……』
『前輩？』
『那是蒂蒂的腳步聲。』
『『可愛的跟蹤狂』依然健在。』
『『……』予欲無言，也不欲抬頭。』
『哪裡不舒服嗎？』
『『只是對自己感到厭煩罷了。』我繼續低頭答道。』

『沉默。』

『失禮了。』
『她把手放在我低沉的頭上，甘香隨之飄降。她到底將要做甚麼？』

『上主啊。』
『無論如何請祢保佑前輩。陪伴他，支撐他，助他渡過悲傷苦痛。』
『我從前輩裡學曉數學的樂趣。』
『不單止我，很多人也跟前輩學習，也發現數學的樂趣。』
『請你保佑前輩，讓更多人得到學習的樂趣。』
『奉真理之神的名字祈求——阿門。』

『這是祈禱吧。』
『為了這樣不濟的我，蒂蒂向神禱告。』
『我不太了解神明的教誨。即使這樣……』
『她祈求的意義，我很清楚。』
『她的禱言，確切傳達到我心坎中，尤其是這句：』

『樂趣』

『數學的樂趣林林總總。解決問題有其樂趣，揭示結構有其樂趣。架橋連結現實世界和複數世界有其樂趣。收到來自數百年前數學家的訊息有其樂趣……學習數學縱使難關重重，過程也許苦痛重重，可是學成數學也樂趣重重。就是這樣。我清楚數學的樂趣，也了解學成的樂趣，進而知道傳達樂趣的樂趣。』

『倘若真的是這樣……』
『倘若真的是這樣……我大概已變成教師……』
『傳達『數學的樂趣』和『學成的樂趣』的教師……？』

『尤莉說過：『哥哥將來做學校的老師也不錯。』』
『蒂蒂說過：『前輩真的教得很好。』』
『美留香說過：『教師失格。』——那是指責像教師時的我。』

『蒂蒂撫摸著我的頭，說：『一直以來教導我，很多謝你，前輩。』』
『讓晚輩的女孩看見我流淚該是件很羞恥的事……但是現在不是管那麼多的場合。我立刻揩拭眼淚，戴上眼鏡，看著蒂蒂。』
『讓你擔心了，很對不起……還有多謝你，蒂蒂。』
『她微笑著，用甜美的聲線說道。』
『It's my pleasure.』

『數學』的『數』，是『數字』的『數』，還是『點算』的『數』？【數學少女3—哥德爾不完備定理】第七章，對角線論法。即使是無限集合，也能點算個數。個數不合，象徵某些事不能一一對應。不能一一對應，那些事便不能同時發生。要証明無限集合個數不合，只需就任何點算方法，找出一個點漏的元素，個數便不能重合。舖陳算法，在對角線上製做算漏的元素，那就是對角線論法。『皮亞諾的自然數公理、戴德金的定義無限、魏爾斯特拉斯的 Epsilon-delta 、康托爾的對角線論法……數學家們發掘的趣聞，優美得不可思議。穿越時空，落到我們手中……有如灰姑娘留下的玻璃鞋一樣。』

『王子在尋找的是甚麼？是玻璃鞋嗎？』美留香問道。
她的問題，我細耳傾聽。
悅耳音樂，摩天輪依然在演奏。
口哨伴奏，隨風吹過線䌫而起。
『還是生命中獨一無二的女孩？』

『負負得正；交叉相乘』就像是大眾的算術法則，『不要問，只要信』是從眾的金科玉律，畢竟大眾的算術不會深究負數和分數從何而來。只是若要對數學尋根究底，便不得不從皮亞諾公理構築自然數開始，逐步用權宜算法構築權宜數字。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第八章，誕自兩個孤獨中。表示負數，靠的是不存在於自然數的兩數之差。故可以連同非負整數，以一對自然數表示。表示分數，靠的是不存在於整數的兩數之商。故可連同原有整數，以一對整數表示。同一權宜數字，可以以不同數對表示。『意義來源來自同型映像』。接受一數多表，又確保不起矛盾，便能將原本只屬自然數運算的四則運算，擴而充之，化作有理數的運算體系。所有數字，皆源自兩個更基本的數，而來源早已遭到遺忘，誕自兩個孤獨中，其由有自。

要表示 -2 ，由於 1 - 3 = -2，我們可以以 (1, 3) 來表示 -2 ，也可以用 (2, 4) 來表示，只要能定義加法而又不起矛盾便可。負數就此定義，負負得正，由此而來。

要表示 1/2 ，由於 1 / 2 = 1/2，我們可以以 [1, 2] 來表示 1/2 ，也可以用 [2, 4] 來表示，只要能定義乘法而又不起矛盾便可。分數就此定義，交叉相乘，就此產生。

量度角的大小，取一圈360度，按角度佔一圈的比例，編配數字。數千年人類都是這樣做，數學研究也應止於此法，否則是庸人自擾，的確有人這樣認為。只是這360依然權宜，權宜在於因數夠多，比100為分母更適合表示比例。故歷史留下的是一圈360度，而非100度。為何還要另創方法？【數學少女3—哥德爾不完備定理】第九章，錯亂方向的螺旋階梯。自從微積分發明之後，數學掌握世間萬物的希望由此再生，即使它可能十分虛妄。用孤長半徑比例定義角的大小，比360度更有益於微積分。是以孤度法和角度法能並行不悖，出現於我們眼前。可是，孤度法也好，角度法也好，角這話兒，是在圓上原地踏步，還是在螺旋上升，乃主角和數學少女的分歧。

計算機上還有以100為直角的百分度，有大學教授在其課堂上直斥那是『日本人庸人自擾』。物理也好，人理也好，那到底是甚麼一回事？

（泛指的）物理上，電腦也只是處理二元運算的計算機。如何將那機器化為己用，取決於自己遇上甚麼問題。角的大小在計算機出現，是為了處理三角函數。定義於直角己綽綽有餘。要算出所有函數值，將直角切開100份總比切開90份容易。強行切開90份方是庸人自擾。

（泛指的）人理上，一件工具是否有用取決於評論者本身。有助解決他所遇問題的當然有用，無助的當然是庸人自擾。故此問題的答案並無公論。只是當社會分工日益精細，在前線處理的實際問題，大眾不須要處理，總有技術者代勞；象牙塔內位高權重者，總有資源聘人解決，難免認為問題雞毛蒜皮。高不成，低不就，解決問題的『認同』，當然是難聽的標籤一堆。

『『數學是甚麼？』這問題，你打算如何回答？是(1)清晰列出定義，嚴格按格式議論萬物，形式化表現一切；還是(2)不用清晰說明，眾人心中自會想像，一切心照不宣？』要統一意志，避免人言人殊，(1)是適合的答案。只是在推論的彼方，等待人們的是絕望真相。【數學少女3—哥德爾不完備定理】最終章，哥德爾不完備定理。完備的形式體系，任何命題均能判定真偽，不起矛盾。第一定理告訴我們那是天方夜譚。但求不起矛盾，容許某些命題不明真偽，那只是相容的形式體系。第二定理告訴我們不明真偽的命題還包括『這體系不起矛盾』。萊布尼兹數學統治一切的夢，就此告終。真相可會是絕望的終結，還是希望的開端？南柯夢醒，何夢再開？

書籍介紹【數學少女2—費馬最後定理】

任誰也能理解的問題，誰都答不了。為解答這個問題，六千年來的數學給全部用上。【數學少女2—費馬最後定理】神創造了自然數，其餘的數均由人創造。新登場，熱愛推理的表妹將和熱愛演算的主角，以及上集的兩位數學少女，一起在同一星空下，探索費馬的數學世界。

當 n 是大於二的自然數，不存在自然數 x, y, z 使得 x ^ n + y ^ n = z ^ n 。 ~ 費馬最後定理

『這些像遊戲的問答也算是數學嗎？』表妹在開心之餘，興高采烈問。【數學少女2—費馬最後定理】第一章，巡迴鐘錶上的數字。主角為引起表妹對數學的興趣，對著鐘錶問：『由十二時開始，隔多少個數字跳一次才可以在返回十二時前巡迴所有數字？』熟悉代數的也許一眼看出那是模數，也是人類嘗試証明費馬最後定理最初的武器。

同一條問題，在別的場景可會是一條找碴的問題。 ~ Shinn Lau

『同一星空下，你可會是數星星的人嗎？還是描繪星座的人嗎？』【數學少女2—費馬最後定理】第二章，畢氏定理。符合畢氏定理的自然數組多如繁星，即使撇開能以乘倍組成的組合不談，原型組合仍比比皆是。以算式為最大武器的主角，透過一組組聯立方程証畢原型組合無窮無盡，是一個數星星的人。只是，是否喜歡數學的人都是數星星的人？

存在無限多組自然數 x, y, z,
使得 x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2,
而 x, y, z 的最大公因數是 1 （互質）。

算術基本原理，一條幾近常識的原理，常人做夢也不會想到要把它化成文字，再冠以名稱。但這正是研究算術第一件要做的事。【數學少女2－費馬最後定理】第三話，互質。表妹遇上主角的同學。表妹遇上難題便馬上拒絕思考，業已成性，吃盡頭腦清晰的同學不斷質問定義的苦頭。只是，如不釐清最基本的算術原理，便不能指出費馬所認為，他最後定理所謂『簡單証明』的謬誤。

每一個自然數分解成質因數連乘的時候，撇除乘法次序不論，連乘式只得一個。（再也找不到不同的質數組合乘得這個自然數） ~ 算術基本原理

『以子之矛，攻子之盾，如何？』【數學少女2—費馬最後定理】第四章，歸謬法。將無窮的宇宙掌握於手中，是數學家的願望。但人類生命有限，如何以有限的時間去掌握無限的事？歸謬法從反面論證命題不成立，乃掌握無限的一大利器。

要論証一個命題不成立，可先假設其成立，再嘗試由此推論出矛盾，便能証明此命題不成立。只是，最便捷的推論方向可不是嘗試推論自相矛盾，而是第三個命題的矛盾。這也是玩數獨的高階應用。

『理應不能再分解的原子偏偏在眼前解體……』【數學少女2—費馬最後定理】第五話，質數解體。在自然數中定義質數，只須要求該數不能再分解成兩整數之積。可是當整數定義擴展至複數時，原本的質數解體為兩個新整數之積，就像原子分解成質子、中子和電子一樣。在質數解體的同時，還有甚麼會跟著解體？

自然數的 2 是質數。可是當我們引入虛數單位 i 的時候，2 = (1 + i) (1 - i) ，2 不再是質數。（這兒 i 的定義是 x ^ 2 = -1 的解。）

有些事，直至失去了才會知它的存在意義。有些事，直至失去了才會讓其他事物的本質呈現眼前。【數學少女2－費馬最後定理】第六話，阿貝群之淚。忘掉一切權宜數字，忘掉一切權宜的算法，只考慮必須的數字和算則，才能呈現數字本質。『太過具體的話反而會掩蓋事物的本質。』阿貝群只容許加法（或乘法）存在，揭露自然數深層結構。只是，讓主角們拋棄一切的場景，乃車禍後善後的醫院，以及女角們不幸的身世。失去幸福才能顯露女角們的堅强，竟和阿貝群去掉算術才能反映數字結構互相輝映，實在是帶淚的反諷。

阿貝群的定義
倘若一個集合的元素以及其演算法則符合以下特性，此集合及其法則為阿貝群。
1. 封閉律：該法則將兩個集合內的元素演算成一個同一集合內的元素。
2. 結合律：就三個元素而言，無論該法則先演算前兩個還是後兩個元素，最終結果必然相同。
3. 單位元：集合內有一個元素(0)，使得它和任何元素進行演算，都能得出後者的結果。
4. 可逆律：就任何一個元素，均可和集合內其中一個元素演算後得出單位元(0)。
5. 交換律：將演算法則前後兩個數字交換，結果依然相等。
例子：整數與加法；錶面數字與加法（當然12時要被視作0時）

『覺得我新髮型怎麼樣？』被女角這樣問，答錯可會性命攸關。『撇除髮型不論，過去的我和現在的我可有不同？』答錯這追問也會惹來天大麻煩。【數學少女2—費馬最後定理】第七章，以髮型為模。撇除逆運算不論，自然數基本四則運算至少有加法和乘法。只容許一則運算的阿貝群在揭露自然數結構有其局限，需要向容許兩則運算的環和體擴充。無限個數字的自然數也許大得不便研究，故有限個數字的環和體自然成為研究對象。那些有限環和體正正可由除以某個整數所得的餘數所模擬。這種撇除整除部分不論，只論餘數的數學，稱為以某除數為模的模數，其等式稱為同餘。其中一例為第一章【巡迴鐘錶上的數字】。費馬最後定理的証明包含了巡迴『所有』『無限個』鐘錶上數字的考量，充滿掌握無限的美感。只是，把這同餘用到人身上，可會是打爛沙盤問到督的麻煩，還會攸關性命。

3 和 11 在除以 4 後餘數相同，故稱「以 4 為模，3 和 11 同餘」。
當 x 為單數， x ^ 2 在除以 4 後的餘數是 1 ，故稱「以 4 為模，x ^ 2 和 1 同餘」。

和表妹到附近公園遊玩。貪玩的表妹到給小學生玩的滑梯滑下來，嘆速度不足，未能盡興。也難怪，小學生的滑梯不可能很高，又不是滑進地底深處，哪來那麼多勢能轉化成她玩滑梯的動能？【數學少女2—費馬最後定理】第八章，無窮遞降法。自然數縱使無窮無盡，但總有最小的一個，不能找到更小的。四階費馬最後定理成立的原因在於，倘若費馬方程有自然數解，那麼我們可以用減法和除法找出另一組更小的自然數解，但自然數在小的方向並非無窮無盡，沒有那麼多的自然數給我們找出方程解，故此原先第一組方程解也不可能存在。費馬本人自己給出的証明，理念就像沒有人能玩滑梯能滑至地底深處一樣，簡單而顯淺。這手法就叫（不可能發生的）無窮遞降法。

根據四階費馬最後定理，不存在自然數 x, y, z
使得 x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 4 。
那八階，十二階等等成立原因在於，
若 x ^ 8 + y ^ 8 = z ^ 8 成立，自然數 (x^2), (y^2), (z^2) 令 (x^2) ^ 4 + (y^2) ^ 4 = (z^2) ^ 4 成立，
和四階費馬最後定理矛盾。
故此我們只需証明質數階的費馬最後定理成立，
便能証畢費馬最後定理。

e ^ (i * pi) + 1 = 0, 被譽為世上最美的算式。數學最重要的五個常數、三個算法和一個關係匯集在同一算式中。只是常人說不清首項的意義而已。【數學少女2—費馬最後定理】第九章，世上最美的算式。涉及權宜數字的時候，尋常人會認為加法是不說自明，而作為連加的乘法需要一點想像力，作為連乘的冪法是怎樣解也解不通。主角表妹完全不明白為何當圓周率乃超越數的時候，我們仍可把一實數連乘圓周率那麼多次，更遑論虛數那麼多次。只是數學上，『存在基礎在於不起矛盾』。只要不起矛盾，定義甚麼也不起問題。負數、無理數和虛數也是在因方程無解走投無路時被定義出來。會起矛盾的定義當然會被歷史巨輪冲洗得一乾二淨。一旦確保連乘虛數次的擴充定義不起矛盾，定義便妥為確立。不同數學符號走在一起，總有一個是最美的。

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'負數、無理數和虛數也是在因方程無解走投無路時被定義出來。'=>

人文化的演譯:"新的思維也是因人生無解走投無路時被引導出來。"

~ K. K. Chan

任誰也能理解的問題，誰都答不了。為解答這個問題，六千年來的數學給全部用上。【數學少女2—費馬最後定理】最終章，費馬最後定理。我們是否永遠找不到三個自然數，使得較小的兩個數的高次方和等於第三個的高次方？從提出問題到解答足足用上三百五十年。數星星的算術讓我們注視它們除以四之後的餘數，畫星座的推理讓我們看見存在的矛盾。畫星座的抽象代數聚焦自然數的結構，數星星的無窮展式連結各門數學。數星星的橢圓曲線方程瞄準除以質數後的餘數，畫星座的谷山志村猜想擊中最後的矛盾。同一星空下，只有同時數星星和畫星座的人，才能欣賞銀河真正之美。在數學的世界，唯有拋棄門戶之見，才能發現永恒的真理。

【數學少女2—費馬最後定理】後記。數星星的人會用算式求出在 x ^ 2 +y ^ 2 = 3 上 x, y 座標皆為有理數的點的數目，畫星座的人會像星座般把橢圓曲線 y ^ 2 = x ^ 3 - x (mod 23) 的同餘解畫在座標上作論証。自由遊走兩面的人才能在名為數學的迷宮來往自如吧。