書籍介紹【數學少女2—費馬最後定理】

任誰也能理解的問題，誰都答不了。為解答這個問題，六千年來的數學給全部用上。【數學少女2—費馬最後定理】神創造了自然數，其餘的數均由人創造。新登場，熱愛推理的表妹將和熱愛演算的主角，以及上集的兩位數學少女，一起在同一星空下，探索費馬的數學世界。

當 n 是大於二的自然數，不存在自然數 x, y, z 使得 x ^ n + y ^ n = z ^ n 。 ~ 費馬最後定理

『這些像遊戲的問答也算是數學嗎？』表妹在開心之餘，興高采烈問。【數學少女2—費馬最後定理】第一章，巡迴鐘錶上的數字。主角為引起表妹對數學的興趣，對著鐘錶問：『由十二時開始，隔多少個數字跳一次才可以在返回十二時前巡迴所有數字？』熟悉代數的也許一眼看出那是模數，也是人類嘗試証明費馬最後定理最初的武器。

同一條問題，在別的場景可會是一條找碴的問題。 ~ Shinn Lau

『同一星空下，你可會是數星星的人嗎？還是描繪星座的人嗎？』【數學少女2—費馬最後定理】第二章，畢氏定理。符合畢氏定理的自然數組多如繁星，即使撇開能以乘倍組成的組合不談，原型組合仍比比皆是。以算式為最大武器的主角，透過一組組聯立方程証畢原型組合無窮無盡，是一個數星星的人。只是，是否喜歡數學的人都是數星星的人？

存在無限多組自然數 x, y, z,
使得 x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2,
而 x, y, z 的最大公因數是 1 （互質）。

算術基本原理，一條幾近常識的原理，常人做夢也不會想到要把它化成文字，再冠以名稱。但這正是研究算術第一件要做的事。【數學少女2－費馬最後定理】第三話，互質。表妹遇上主角的同學。表妹遇上難題便馬上拒絕思考，業已成性，吃盡頭腦清晰的同學不斷質問定義的苦頭。只是，如不釐清最基本的算術原理，便不能指出費馬所認為，他最後定理所謂『簡單証明』的謬誤。

每一個自然數分解成質因數連乘的時候，撇除乘法次序不論，連乘式只得一個。（再也找不到不同的質數組合乘得這個自然數） ~ 算術基本原理

『以子之矛，攻子之盾，如何？』【數學少女2—費馬最後定理】第四章，歸謬法。將無窮的宇宙掌握於手中，是數學家的願望。但人類生命有限，如何以有限的時間去掌握無限的事？歸謬法從反面論證命題不成立，乃掌握無限的一大利器。

要論証一個命題不成立，可先假設其成立，再嘗試由此推論出矛盾，便能証明此命題不成立。只是，最便捷的推論方向可不是嘗試推論自相矛盾，而是第三個命題的矛盾。這也是玩數獨的高階應用。

『理應不能再分解的原子偏偏在眼前解體……』【數學少女2—費馬最後定理】第五話，質數解體。在自然數中定義質數，只須要求該數不能再分解成兩整數之積。可是當整數定義擴展至複數時，原本的質數解體為兩個新整數之積，就像原子分解成質子、中子和電子一樣。在質數解體的同時，還有甚麼會跟著解體？

自然數的 2 是質數。可是當我們引入虛數單位 i 的時候，2 = (1 + i) (1 - i) ，2 不再是質數。（這兒 i 的定義是 x ^ 2 = -1 的解。）

有些事，直至失去了才會知它的存在意義。有些事，直至失去了才會讓其他事物的本質呈現眼前。【數學少女2－費馬最後定理】第六話，阿貝群之淚。忘掉一切權宜數字，忘掉一切權宜的算法，只考慮必須的數字和算則，才能呈現數字本質。『太過具體的話反而會掩蓋事物的本質。』阿貝群只容許加法（或乘法）存在，揭露自然數深層結構。只是，讓主角們拋棄一切的場景，乃車禍後善後的醫院，以及女角們不幸的身世。失去幸福才能顯露女角們的堅强，竟和阿貝群去掉算術才能反映數字結構互相輝映，實在是帶淚的反諷。

阿貝群的定義
倘若一個集合的元素以及其演算法則符合以下特性，此集合及其法則為阿貝群。
1. 封閉律：該法則將兩個集合內的元素演算成一個同一集合內的元素。
2. 結合律：就三個元素而言，無論該法則先演算前兩個還是後兩個元素，最終結果必然相同。
3. 單位元：集合內有一個元素(0)，使得它和任何元素進行演算，都能得出後者的結果。
4. 可逆律：就任何一個元素，均可和集合內其中一個元素演算後得出單位元(0)。
5. 交換律：將演算法則前後兩個數字交換，結果依然相等。
例子：整數與加法；錶面數字與加法（當然12時要被視作0時）

『覺得我新髮型怎麼樣？』被女角這樣問，答錯可會性命攸關。『撇除髮型不論，過去的我和現在的我可有不同？』答錯這追問也會惹來天大麻煩。【數學少女2—費馬最後定理】第七章，以髮型為模。撇除逆運算不論，自然數基本四則運算至少有加法和乘法。只容許一則運算的阿貝群在揭露自然數結構有其局限，需要向容許兩則運算的環和體擴充。無限個數字的自然數也許大得不便研究，故有限個數字的環和體自然成為研究對象。那些有限環和體正正可由除以某個整數所得的餘數所模擬。這種撇除整除部分不論，只論餘數的數學，稱為以某除數為模的模數，其等式稱為同餘。其中一例為第一章【巡迴鐘錶上的數字】。費馬最後定理的証明包含了巡迴『所有』『無限個』鐘錶上數字的考量，充滿掌握無限的美感。只是，把這同餘用到人身上，可會是打爛沙盤問到督的麻煩，還會攸關性命。

3 和 11 在除以 4 後餘數相同，故稱「以 4 為模，3 和 11 同餘」。
當 x 為單數， x ^ 2 在除以 4 後的餘數是 1 ，故稱「以 4 為模，x ^ 2 和 1 同餘」。

和表妹到附近公園遊玩。貪玩的表妹到給小學生玩的滑梯滑下來，嘆速度不足，未能盡興。也難怪，小學生的滑梯不可能很高，又不是滑進地底深處，哪來那麼多勢能轉化成她玩滑梯的動能？【數學少女2—費馬最後定理】第八章，無窮遞降法。自然數縱使無窮無盡，但總有最小的一個，不能找到更小的。四階費馬最後定理成立的原因在於，倘若費馬方程有自然數解，那麼我們可以用減法和除法找出另一組更小的自然數解，但自然數在小的方向並非無窮無盡，沒有那麼多的自然數給我們找出方程解，故此原先第一組方程解也不可能存在。費馬本人自己給出的証明，理念就像沒有人能玩滑梯能滑至地底深處一樣，簡單而顯淺。這手法就叫（不可能發生的）無窮遞降法。

根據四階費馬最後定理，不存在自然數 x, y, z
使得 x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 4 。
那八階，十二階等等成立原因在於，
若 x ^ 8 + y ^ 8 = z ^ 8 成立，自然數 (x^2), (y^2), (z^2) 令 (x^2) ^ 4 + (y^2) ^ 4 = (z^2) ^ 4 成立，
和四階費馬最後定理矛盾。
故此我們只需証明質數階的費馬最後定理成立，
便能証畢費馬最後定理。

e ^ (i * pi) + 1 = 0, 被譽為世上最美的算式。數學最重要的五個常數、三個算法和一個關係匯集在同一算式中。只是常人說不清首項的意義而已。【數學少女2—費馬最後定理】第九章，世上最美的算式。涉及權宜數字的時候，尋常人會認為加法是不說自明，而作為連加的乘法需要一點想像力，作為連乘的冪法是怎樣解也解不通。主角表妹完全不明白為何當圓周率乃超越數的時候，我們仍可把一實數連乘圓周率那麼多次，更遑論虛數那麼多次。只是數學上，『存在基礎在於不起矛盾』。只要不起矛盾，定義甚麼也不起問題。負數、無理數和虛數也是在因方程無解走投無路時被定義出來。會起矛盾的定義當然會被歷史巨輪冲洗得一乾二淨。一旦確保連乘虛數次的擴充定義不起矛盾，定義便妥為確立。不同數學符號走在一起，總有一個是最美的。

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'負數、無理數和虛數也是在因方程無解走投無路時被定義出來。'=>

人文化的演譯:"新的思維也是因人生無解走投無路時被引導出來。"

~ K. K. Chan

任誰也能理解的問題，誰都答不了。為解答這個問題，六千年來的數學給全部用上。【數學少女2—費馬最後定理】最終章，費馬最後定理。我們是否永遠找不到三個自然數，使得較小的兩個數的高次方和等於第三個的高次方？從提出問題到解答足足用上三百五十年。數星星的算術讓我們注視它們除以四之後的餘數，畫星座的推理讓我們看見存在的矛盾。畫星座的抽象代數聚焦自然數的結構，數星星的無窮展式連結各門數學。數星星的橢圓曲線方程瞄準除以質數後的餘數，畫星座的谷山志村猜想擊中最後的矛盾。同一星空下，只有同時數星星和畫星座的人，才能欣賞銀河真正之美。在數學的世界，唯有拋棄門戶之見，才能發現永恒的真理。

【數學少女2—費馬最後定理】後記。數星星的人會用算式求出在 x ^ 2 +y ^ 2 = 3 上 x, y 座標皆為有理數的點的數目，畫星座的人會像星座般把橢圓曲線 y ^ 2 = x ^ 3 - x (mod 23) 的同餘解畫在座標上作論証。自由遊走兩面的人才能在名為數學的迷宮來往自如吧。