任何一個相容的數學形式化理論中，只要它強到足以蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。 ~ 哥德爾第一不完備定理
任何相容的形式體系不能用於證明它本身的相容性。 ~ 哥德爾第二不完備定理
『數學是甚麼？』有云數學就是精確推理，將真實準確無誤地，如鏡像一般呈現眼前。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第一章，鏡之獨白。『魔鏡啊魔鏡，來告訴我，世上最美的人是誰？』辨別美醜，也許得靠【白雪公主】裡的『美人判定機』。辨別真偽，不能不靠推理。愛美愛推理的表妹，帶著新買的推理遊戲書，以推理為武器，和主角一起第三度走進數學世界，用數學探求數學的真相。
場內有帽五頂，三紅兩白。甲乙丙各戴一頂，餘下兩頂被藏起來。每人只能看見其餘兩人所戴的帽。甲先說：『我不知道自己戴的帽是甚麼顏色。』乙丙聽罷，乙接著說：『我也不知道。』這時，看見甲乙兩人均戴紅帽的丙，可會知道自己的帽是何色？
沒有規律的無限想觸摸也觸摸不了。人生有限，如要捕捉無限，只能捕捉其有限的規律。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第二章，皮亞諾算術。自然數雖然自然，但是仍有無限多個。定義自然數，靠的仍是有限的規律，那就是短短五條皮亞諾公理。即使假裝不知道自然數的存在，像向【阿拉丁神燈】許下要多三個願望的願望般，自然數應運而生。以有限的論理捕捉無限，正是數學的一大基礎。
1是自然數；
若n是自然數，它的後續數也是自然數；
1不是任何數的後續數；
若兩數的後續數相等，該兩數也相等。
首兩條公理不說自明。第三條公理確保了自然數的起點，不會往負方無限延伸。第四條公理確保自然數往正方無限延伸，不會到某點自己循環。那我們還欠甚麼？為何非加第五條公理不可？ ~ Shinn Lau
第5條公理就是要確保每自然數都相差1? ~ Smafield Lo
確實，後續數和原數只相差1是一條很重要的公理。只是加法和減法要自然數被妥為確立後才可定義。故這正是第一條加法公理，而非第五條自然數公理。首四條公理無法排除『所有正實數』的結構。試想像0.5, 1, 1.5, 2, 2.5...，這種平行結構也符合首四條公理。我們需要第五條公理『數學歸納法』來排除平行結構，確保自然數只包含應包的數，亦讓用有限的論理捕捉無限多的自然數變得可行。 ~ Shinn Lau
笨豬跳一躍而下之前，任誰都有或長或短的遲疑和停滯。一旦跳下，便會看見另一番風景。數學發展都一樣。既有概念處理不了現實情況，擴充概念未必會真的朝解決問題方向進發，甚至會在歧路上背道而馳。此乃『飛躍前的停滯』。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第三章，伽利略的躊躇。集合是數學以有限掌握無限的另一大基礎。論理的真偽二分和集合的從屬二分互為表裡。論理論盡世間萬物，集合將之分門別類，輔以數字為其編碼。數學以此掌握無限。只是如何為包含無限元素的集合點算個數，也是困擾人類三個世紀的問題。伽利略的金科玉律『部分比全部還少』直至十九世紀才被打破，人類才能定義無限集合。概念擴張時的困惑，可見一斑。
自然數的加法方程偶爾無解，為此人類在一番折騰後創立『否定的數』(negative)。整數的自乘方程經常無解，為此某人丟掉性命後很久才創立『不合理的數』(irrational)。實數的高次方程不斷無解，為此經過一番無視確實存在的自然現象才創立『想像中的數』(imaginary)。無限集合部分元素能和全部元素一一對應，在棄掉『部分比全部還少』的金科玉律後，人類才能開始面對無限。這正是數學家的『信心一躍』(leap of faith)。
『並非依賴感覺，以論理尋真相；並非依賴話語，用演算求事實。』小學中學都會有數學老師教的0.9999...<1，孰真孰假，以論理、用演算，即可判斷。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第四章，無止境地接近的目標地點。這個命題的判定好像是要在以下兩者中按信念二擇其一：A. 序列 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... 中，每項均比前項更接近1這個目標地點，永無休止。B. 可是在同一序列中，每項均小於1。同意後者的，可會認為該循環小數會小於1。只是兩命題根本沒有矛盾。待決中的 0.999… 根本就不在序列中。故它是否等於1是和 B. 無關。無窮小數的數值，以及數值的十進位無窮小數的表現，大概需要更嚴謹的數學定義。極限就是處理無限的入門。把無窮小數化成級數再求極限，是計算的根本。
『用算式去表現數學，是最佳的表達方法。就像音樂般，用音韻去表達……千山萬水到了最後，用音韻——以及話語，能表達這個世界，那是件美好的事。畢竟，只能用音韻表達的世界還是存在的……偶爾也會遇上『不了解音樂』的人，也有能說流利話語，卻以一句『我不了解』來打發一切的人。他們只視音樂為話語的調味料。可是，不能表達或接收話語的人也應該能了解音樂。在話語的時候，音韻自然而生。在接收話語的時候，音韻也會一同接收。尋求話語意義，再用音韻表現出來，那就是演奏家的演奏。音韻響奏的同時，也會感染整個空間。故不用在意話語，細耳享受便夠了。』
『聽不懂音韻，就像明明在學習數學，卻讀不懂算式一樣。』
『不認真去讀算式的話，就看不見數學家所構築的世界。不認真去讀算式，便不能把算式轉化為自然語言，便學不好數學吧。』
『音樂和數學雖然很不相同，但也有相似的地方。演奏家演奏音韻，也細心聆聽音韻；數學家書寫算式，也認真閱讀算式。』
『音韻乃音樂的語言，算式乃數學的語言，無可替代。』
『大概不止算式。以極限為例，我們表達其數值時是說『永無止境地接近』的數值，而非單單言及它『會變成』的數值。當閱讀數學書籍時仔細留意其表達是非常重要的。』
『無論面對任何問題，縱使問題有多困難和複雜，任誰都應可以透過計算，從真理判斷出解決方案。如是者，以後人人都可以避免爭論，一起去發掘世間所有真理。』那是萊布尼兹的夢。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第五章，萊布尼兹的夢。為實現夢想，先賢們創立形式體系，一一定義論理式、公理、推論規則、証明及定理等概念，以數學方法處理數學本身。萬千理論，按格式轉化，再予編碼。以公理為起點，根據體系機制，一一判斷理論真偽。『真理判定機』，業已完成。只是此機是否沒有矛盾，是否完備，就是下一個課題，也是達成夢想的關鍵。
『不用考慮現實意義，只需機械地解決問題。萊布尼兹如此冀求……『無視現實意義下解決問題』，乃操作算式時所持的心態，和『完全無視現實』有所不同。升讀中學，算術科變成數學科的時候，老師不是要求『列出算式』嗎？』
『的確有被這樣要求。明明心算便答到的簡單題目，老師也會很囉嗦地要我列式。測驗時不列式更會被減分。』
『就是這樣。了解問題後列出算式，剩下的只是機械運算——不用再考慮現實意義，只需持續運算——我們就是這樣練習數學。再具體的問題，即使細心理解問題意義是非常重要，到了某個階段，我們必須把思考對象從『意義的世界』轉移到『算式的世界』。那就是列式。在『算式的世界』，我們的確不用考慮現實意義，只需不斷變換算式。採用的只是各適其式的方程解法。最後將得出的結果從『算式的世界』回歸到『意義的世界』，問題就此解決……以求蘋果價格為例，我們先假設『價格為x』，建立方程。此後便進入『算式的世界』。由方程解得如 x=120 般的答案。按『x為價格』將答案回歸到『意義的世界』，便得出120圓的答案。由此可見，所謂『算式的世界』，就像一面鏡，映照出現實世界。映照現實世界，進而操作算式，就能解決世上萬千問題。』
直觀的無限，難免要靠想像。要靠想像，難免人言人殊。要客觀定義極限，便不能言及無限。既要避諱無限，又要掌握無限，只能靠集合，以條件內包一切。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第六章，Epsilon-delta。定義極限，靠的是論理，靠的是集合，靠的是由 Epsilon-delta 構成的條件。『世間所有學習數學的人們，一個不留，從魏爾斯特拉斯那兒承繼了名為 Epsilon-delta 的鑰匙。然後……用這把鑰匙，打開極限之門，從無限的迷宮逃脫。』
『在那兒（實力測驗數學排名榜），收錄了我們高中數學最優秀同學們的名字。名單不常變動，全都是數學排名榜的常客。』
『好像沒有前輩的名字……』
『蒂蒂的英文是全級最好的。若數學也考得好的話，她便能兩科上榜了。只是……我並不為她的好成績感到高興。上不了榜，自己尷尬不已。還虧自己以前輩自居，說『如有不明白的地方，歡迎找我談談。』唉，那樣的自己，真的遜斃了。』
『的確……測驗完結時，我感覺到自己的發揮和平常不一樣，尤其是在積分的計算。卷裡有很多單純應用公式的題目。其他同學也能輕易回答。只是我卻沒有想到這點。此刻心情沉重如斯，亦嘆自己悲哀如斯。』
『回到課室，收拾書包——自己一個。』
『離開大堂，殘步中庭——在長凳抱頭沉思。』
『到底我現在怎麼樣了？』
『因實力測驗上不了榜而大受打擊？』
『因數學不如蒂蒂而大受打擊？』
『受到雙重打擊，感到無比震撼？』
『這些事縈繞在腦海中，滴㗳滴㗳，揮之不去……』
『……滴㗳滴㗳，那是背後傳來的腳步聲……』
『前輩？』
『那是蒂蒂的腳步聲。』
『『可愛的跟蹤狂』依然健在。』
『『……』予欲無言，也不欲抬頭。』
『哪裡不舒服嗎？』
『『只是對自己感到厭煩罷了。』我繼續低頭答道。』
『沉默。』
『失禮了。』
『她把手放在我低沉的頭上，甘香隨之飄降。她到底將要做甚麼？』
『上主啊。』
『無論如何請祢保佑前輩。陪伴他，支撐他，助他渡過悲傷苦痛。』
『我從前輩裡學曉數學的樂趣。』
『不單止我，很多人也跟前輩學習，也發現數學的樂趣。』
『請你保佑前輩，讓更多人得到學習的樂趣。』
『奉真理之神的名字祈求——阿門。』
『這是祈禱吧。』
『為了這樣不濟的我，蒂蒂向神禱告。』
『我不太了解神明的教誨。即使這樣……』
『她祈求的意義，我很清楚。』
『她的禱言，確切傳達到我心坎中，尤其是這句：』
『樂趣』
『數學的樂趣林林總總。解決問題有其樂趣，揭示結構有其樂趣。架橋連結現實世界和複數世界有其樂趣。收到來自數百年前數學家的訊息有其樂趣……學習數學縱使難關重重，過程也許苦痛重重，可是學成數學也樂趣重重。就是這樣。我清楚數學的樂趣，也了解學成的樂趣，進而知道傳達樂趣的樂趣。』
『倘若真的是這樣……』
『倘若真的是這樣……我大概已變成教師……』
『傳達『數學的樂趣』和『學成的樂趣』的教師……？』
『尤莉說過：『哥哥將來做學校的老師也不錯。』』
『蒂蒂說過：『前輩真的教得很好。』』
『美留香說過：『教師失格。』——那是指責像教師時的我。』
『蒂蒂撫摸著我的頭，說：『一直以來教導我，很多謝你，前輩。』』
『讓晚輩的女孩看見我流淚該是件很羞恥的事……但是現在不是管那麼多的場合。我立刻揩拭眼淚，戴上眼鏡，看著蒂蒂。』
『讓你擔心了，很對不起……還有多謝你，蒂蒂。』
『她微笑著，用甜美的聲線說道。』
『It's my pleasure.』
『數學』的『數』，是『數字』的『數』，還是『點算』的『數』？【數學少女3—哥德爾不完備定理】第七章，對角線論法。即使是無限集合，也能點算個數。個數不合，象徵某些事不能一一對應。不能一一對應，那些事便不能同時發生。要証明無限集合個數不合，只需就任何點算方法，找出一個點漏的元素，個數便不能重合。舖陳算法，在對角線上製做算漏的元素，那就是對角線論法。『皮亞諾的自然數公理、戴德金的定義無限、魏爾斯特拉斯的 Epsilon-delta 、康托爾的對角線論法……數學家們發掘的趣聞，優美得不可思議。穿越時空，落到我們手中……有如灰姑娘留下的玻璃鞋一樣。』
『王子在尋找的是甚麼？是玻璃鞋嗎？』美留香問道。
她的問題，我細耳傾聽。
悅耳音樂，摩天輪依然在演奏。
口哨伴奏，隨風吹過線䌫而起。
『還是生命中獨一無二的女孩？』
『負負得正；交叉相乘』就像是大眾的算術法則，『不要問，只要信』是從眾的金科玉律，畢竟大眾的算術不會深究負數和分數從何而來。只是若要對數學尋根究底，便不得不從皮亞諾公理構築自然數開始，逐步用權宜算法構築權宜數字。【數學少女3—哥德爾不完備定理】第八章，誕自兩個孤獨中。表示負數，靠的是不存在於自然數的兩數之差。故可以連同非負整數，以一對自然數表示。表示分數，靠的是不存在於整數的兩數之商。故可連同原有整數，以一對整數表示。同一權宜數字，可以以不同數對表示。『意義來源來自同型映像』。接受一數多表，又確保不起矛盾，便能將原本只屬自然數運算的四則運算，擴而充之，化作有理數的運算體系。所有數字，皆源自兩個更基本的數，而來源早已遭到遺忘，誕自兩個孤獨中，其由有自。
要表示 -2 ，由於 1 - 3 = -2，我們可以以 (1, 3) 來表示 -2 ，也可以用 (2, 4) 來表示，只要能定義加法而又不起矛盾便可。負數就此定義，負負得正，由此而來。
要表示 1/2 ，由於 1 / 2 = 1/2，我們可以以 [1, 2] 來表示 1/2 ，也可以用 [2, 4] 來表示，只要能定義乘法而又不起矛盾便可。分數就此定義，交叉相乘，就此產生。
量度角的大小，取一圈360度，按角度佔一圈的比例，編配數字。數千年人類都是這樣做，數學研究也應止於此法，否則是庸人自擾，的確有人這樣認為。只是這360依然權宜，權宜在於因數夠多，比100為分母更適合表示比例。故歷史留下的是一圈360度，而非100度。為何還要另創方法？【數學少女3—哥德爾不完備定理】第九章，錯亂方向的螺旋階梯。自從微積分發明之後，數學掌握世間萬物的希望由此再生，即使它可能十分虛妄。用孤長半徑比例定義角的大小，比360度更有益於微積分。是以孤度法和角度法能並行不悖，出現於我們眼前。可是，孤度法也好，角度法也好，角這話兒，是在圓上原地踏步，還是在螺旋上升，乃主角和數學少女的分歧。
計算機上還有以100為直角的百分度，有大學教授在其課堂上直斥那是『日本人庸人自擾』。物理也好，人理也好，那到底是甚麼一回事？
（泛指的）物理上，電腦也只是處理二元運算的計算機。如何將那機器化為己用，取決於自己遇上甚麼問題。角的大小在計算機出現，是為了處理三角函數。定義於直角己綽綽有餘。要算出所有函數值，將直角切開100份總比切開90份容易。強行切開90份方是庸人自擾。
（泛指的）人理上，一件工具是否有用取決於評論者本身。有助解決他所遇問題的當然有用，無助的當然是庸人自擾。故此問題的答案並無公論。只是當社會分工日益精細，在前線處理的實際問題，大眾不須要處理，總有技術者代勞；象牙塔內位高權重者，總有資源聘人解決，難免認為問題雞毛蒜皮。高不成，低不就，解決問題的『認同』，當然是難聽的標籤一堆。
『『數學是甚麼？』這問題，你打算如何回答？是(1)清晰列出定義，嚴格按格式議論萬物，形式化表現一切；還是(2)不用清晰說明，眾人心中自會想像，一切心照不宣？』要統一意志，避免人言人殊，(1)是適合的答案。只是在推論的彼方，等待人們的是絕望真相。【數學少女3—哥德爾不完備定理】最終章，哥德爾不完備定理。完備的形式體系，任何命題均能判定真偽，不起矛盾。第一定理告訴我們那是天方夜譚。但求不起矛盾，容許某些命題不明真偽，那只是相容的形式體系。第二定理告訴我們不明真偽的命題還包括『這體系不起矛盾』。萊布尼兹數學統治一切的夢，就此告終。真相可會是絕望的終結，還是希望的開端？南柯夢醒，何夢再開？
